E' un ragazzo prodigio Claudio Desolati. L'esordio in serie A e in maglia viola il giorno prima del suo diciassettesimo compleanno. Il primo gol nel massimo campionato (alla sua seconda partita, la prima da titolare) a diciott'anni al portiere della Juventus e della Nazionale Dino Zoff il 7 aprile 1973. Tra l'altro dopo averlo messo a sedere con una finta. Il gol (tra i più belli della sua carriera) che a sei minuti dal novantesimo regala la vittoria (2-1) alla Fiorentina realizzato nella porta sotto la curva Fiesole. Un'emozione unica, a distanza di oltre mezzo secolo, anche per chi come il sottoscritto era allo stadio quel sabato pomeriggio. 

Claudio è un attaccante davvero bravo che oltre tutto gioca come centravanti o come seconda punta a seconda delle necessità. Comunque ha un notevole senso del gol. Sa sempre trovare la posizione giusta nell'area di rigore avversaria. Rapido e scattante è abile nel dribbling ed  è dotato di un buon tiro. E poi è bravo nel gioco aereo.

Nato a Genk in Belgio da genitori italiani il 24 gennaio 1955, arriva a Firenze dal Genoa nel mercato autunnale del 1971. E Nils Liedholm lo fa debuttare nel massimo campionato il 23 gennaio 1972 al Comunale nel match con la Sampdoria finito 0-0, mandandolo in campo in campo all'inizio del secondo tempo. 

Claudio talvolta gioca anche con la Primavera con la quale conquista due volte il torneo di Viareggio. Nel 1973 la Fiorentina batte in finale il Bologna 1-0 nei tempi supplementari. Nel 1974 batte in finale la Lazio 2-1 sempre nei tempi supplementari. E decisivo è il suo gol al 117'. Nel frattempo però l'attaccante gigliato si toglie delle soddisfazioni anche in prima squadra. Quasi due mesi dopo la rete alla Juve, il 6 maggio 1973, segna quella della vittoria (1-0) a Terni con la Ternana. E la settimana dopo contribuisce con un gol al successo della formazione di Liedholm al Comunale con l'Atalanta (4-0). 

La stagione successiva (1973/74), con Radice in panchina, è quella della sua consacrazione definitiva. Segna 7 reti, 6 delle quali in campionato. Tra l'altro va in gol alla prima giornata il 7 ottobre 1973 quando la Fiorentina batte al Comunale il Verona 2-1 (suo è il primo centro) e all'ultima il 19 maggio 1974 quando i viola pareggiano 1-1 a Firenze con la Sampdoria. In quella partita sbaglia però un rigore che avrebbe consentito alla squadra di Radice di qualificarsi per la Coppa Uefa. 

Nella stagione 1974/75 Claudio realizza 13 reti (10 in campionato e 3 in Coppa Italia) e conquista la Coppa Italia. È in campo all'Olimpico di Roma il 28 giugno 1975 quando la Fiorentina, con Mazzoni in panchina, batte il Milan 3-2 in finale. A quella finale la squadra viola la porta lui, segnando una doppietta nella partita decisiva finita 2-2 alla Roma sempre all'Olimpico. In campionato però la Fiorentina stenta e si classifica al nono posto. I tifosi sono scontenti. E dopo la sconfitta con la Sampdoria al Comunale per 2-0 il 26 gennaio 1975, all'uscita dagli spogliatoi, rincorrono Desolati (che quel giorno gioca nonostante sia infortunato) lungo il viale dei Mille. Il centravanti viola trova rifugio in un garage. 

Claudio conquista anche la Coppa di Lega italo-inglese. È in campo a Londra il 10 dicembre 1975 nella finale di ritorno quando la Fiorentina di Mazzone batte il West Ham per 1-0 con un gol di Speggiorin, dopo il successo all'andata per 1-0 al Comunale, e si aggiudica il trofeo. Anche nella stagione 1975/76 come in quella precedente segna 10 gol in campionato (1 anche in Coppa Italia) ed è il miglior cannoniere della squadra viola.

È goleador principe della Fiorentina di Mazzone anche nel 1976/77 con 9 reti in campionato (una anche in Mitropa Cup). La formazione gigliata arriva terza, superando l'Inter (che finisce al quarto posto) battuta al Comunale per 3-0 alla penultima giornata il 15 maggio 1977. Quel giorno Claudio segna una tripletta. 2 gol li realizza nel primo tempo. Il primo di testa e il secondo con una conclusione di destro dal limite dell'area di rigore. Il terzo lo sigla nella ripresa nella porta sotto la curva Fiesole con un pallonetto dopo uno stop di petto. 

A causa di diversi infortuni nelle stagioni successive Desolati gioca poco. Nel 1977/78 segna solo un gol (il primo) a Pescara alla penultima giornata il 30 aprile 1978 quando la Fiorentina vince 2-1, ottenendo la salvezza la settimana successiva nel match con il Genoa (in Coppa Italia al suo attivo 4 reti). Anche nel 1978/79 realizza solo una rete. 4 le sigla nel 1979/80 e 5 (3 in campionato e 2 in Coppa Italia) nella stagione 1980/81, l'ultima in maglia viola. Il suo ultimo gol lo segna il 30 novembre 1980 a Torino contro il Toro nel match finito 1-1. È quello del momentaneo vantaggio della Fiorentina prima del pareggio di Graziani che prenderà l'anno dopo il suo posto come centravanti a Firenze. 

Nelle sue dieci stagioni in maglia viola, dal 1971/72 al 1980/81, Claudio disputa 198 partite, segnando 58 reti. Nell'estate del 1981 viene ceduto alla Pistoiese ma la Fiorentina resta sempre nel suo cuore e lui nel cuore dei tifosi.