È il primo giocatore della Fiorentina ad aver segnato un gol in Coppa dei Campioni. Claudio Bizzarri, ala sinistra viola, dopo aver vinto lo scudetto con lo squadrone di Bernardini nel 1955/56 sia pur giocando solo sei partite (subisce un serio infortunio alla prima giornata a Busto Arsizio nel match finito 2-2 e poi la squadra trova l'assetto giusto con Prini che è un'ala tornante) e realizzando una rete (alla Pro Patria a Firenze nell'incontro vinto dalla Fiorentina  4-1) è protagonista anche nell'avventura europea della formazione gigliata. Il 21 novembre 1956 al Comunale, nella gara d'andata degli ottavi di finale di Coppa dei Campioni, la prima disputata nella sua storia dalla Fiorentina in questa manifestazione, segna contro gli svedesi del Norrkoping il gol del definitivo 1-1 dopo un quarto d'ora. 

Claudio arriva a Firenze dal Venezia che milita in serie C nell'estate del 1954 quando ha vent'anni (è nato a Civitanova Marche in provincia di Macerata il 21 dicembre 1933). Per lui è un doppio salto di categoria. Eppure non lo patisce e mette in mostra subito le sue qualità, aiutato da un maestro di calcio come l'allenatore della Fiorentina Fulvio Bernardini. Claudio è dotato di un buon dribbling, di un tiro forte e preciso e poi è bravo nel gioco aereo. 

È soprannominato Caio. Da bambino, infatti, non riesce a pronunciare correttamente il suo nome, Claudio. E quando gli chiedono come si chiama risponde Caio. E Caio è rimasto per tutta la vita.

Legato alla sua regione, le Marche, vive, una volta lasciato il mondo del calcio, a Porto Sant'Elpididio in provincia di Macerata dove muore il 6 novembre 2016 a ottantadue anni. 

In quattro stagioni in riva all'Arno, dal 1954/55 al 1957/58, gioca 74 partite segnando 22 reti. Oltre allo scudetto vince anche la Coppa Grasshoppers, manifestazione iniziata prima del suo arrivo a Firenze e conclusasi nel 1957 (realizza un gol).

La sua prima annata alla Fiorentina (1954/55) è la migliore. Segna, infatti, 10 reti ed è il secondo goleador della squadra. Le realizza tutte nelle prime 25 giornate. La prima all'esordio in serie A il 19 settembre 1954 quando la squadra viola, al debutto in campionato, batte al Comunale il Catania 2-1. E poi  segna la sua unica doppietta con la casacca gigliata a Milano contro l'Inter il 23 gennaio 1955 quando la Fiorentina vince 5-3. Rimane questo il successo con più reti dei viola contro i nerazzurri a San Siro. Per Claudio, al primo campionato di serie A della sua carriera, è una giornata speciale. All'Inter a Milano realizza la rete della vittoria (1-0) nella sua ultima stagione con la casacca gigliata il 20 aprile 1958. Poche settimane dopo segna un gol anche al Milan al Comunale nel match vinto dalla Fiorentina 4-3. L'ultima rete la realizza sempre al Comunale il 25 maggio all'ultima giornata quando la Fiorentina batte il Padova 6-1 e conquista il secondo posto.

È la sua ultima partita in maglia viola prima della cessione alla Lazio dove ritrova Bernardini. 

Conosco Bizzarri nella primavera del 2006 quando a Firenze vengono organizzate diverse manifestazioni in occasione del cinquantenario del primo scudetto. È legatissimo ai suoi compagni e come tutti i campioni d'Italia dello squadrone di Bernardini mi racconta della forza del gruppo e dell'amicizia che anche dopo mezzo secolo non è mai venuta meno tra di loro. Ed è anche per questo motivo, per stare insieme agli amici di un tempo, che affronta un viaggio di quasi seicento chilometri tra andata e ritorno. Claudio ricorda sempre che avrebbe potuto collezionare più presenze con le regole del 2006 (sono consentiti tre cambi anche se non cinque come ora). Alla sua epoca, invece, non sono ammesse le sostituzioni dei giocatori e quindi le possibilità di giocare rispetto a oggi sono nettamente minori. Ma Bizzarri come tutti i suoi compagni non alimenta mai polemiche. E quando va in campo come nella prima partita di Coppa dei Campioni dà più del massimo per conquistare un posto da titolare come dimostrato dal gol al Norrkoping, uno dei più importanti della sua carriera.